олива. НОВАГО ы ЧИСЛИТЕЛЬНАГО ПИСТРУМЕНТА. ИЗОБРВТЕННАГО Зелигом Слонимскии УДОСТОЕПНАГО ОТЪ с ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУКЪ (Сь приложещемь чертежа.) ИВЦОТЕКА УЫНАМА ВАУЕВА жар ч САНКТПЕТЕРБУРГЪ. ВЪ типограФи ИмПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМШ НАУКЪ. 1845. Его Высокопревосходительству СЕРГПОЮ СЕМЕНОВИЧУ УВАРОВУ, ГОСПОДИНУ МИНИСТРУ ЩАФОДНАЮО ПРОзЬЩЬииЯ, ПРЕЗИДЕНТУ ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМ!И НАУКЪ, ДЪИСТВИТЕЛЬНОМУ ТАЙНОМУ СОВЪТНИКУ И КАВАЛЕРУ и проч. и проч. и проч. Съ глубочайшимъ почтешемъ посващается ВВЕДЕНИЕ. Вслкому, часто занимающемуся сложными и продолжительными вычислешями, хорошо извфстно, какъ утомительны бываютъ подобныя выкладки, въ особенности же умножене и дълеше большихъ числъ, безпрестанно встрёчаюцияся при опредълеши численныхъ математическихь выводовъ. — Конечно, ие трудно пр!учить память при всякомъ умпожени безошибочно | находить произведеня отдЪльныхъь циеръ; но удержаше въ памяти и сложеше чиселъ, не написанных на бумагь, требуетъ безпрерывнаго и напряженнаго, внимашя , — а это обстоятельство не рЪдко заставляет ронять нить настоящаго занятя и этимъ самымъ вводить въ совершенно лишше труды. Возможность | ошибокъ, которыя, при мальйшемъ отвлеченш внимашя, почти незамфтно вкрадываются, поселяеть уже подовфрчивость; и какъ утомительно, для повЪрки, разбирать каждый отдфльный численный результатъ для того, чтобъ убфдиться въ вЪрности или найти ошибочность полученнаго уже прежде вывода. Даля избъжашя такихъ затруднений и неудобствъ, давно уже мноме ученые, и въ числЪ ихъ Лейбницъ, не жалфя ни трудовь, ни издержекъ, пытались изобръсть оруме, помошию котораго возможно бы было получать численные выводы, всегда точные и безошибочные. — Цъль состояла въ изобрьтенш машины, которая, не требуя столько внимашя, какъ обыкновенная метода счислешя, устраняла бы вмфсть съ тЪмъ и пособе памяти вполнф, или по крайней мфр5 въ значительной степени (*); Тая орудя, называемыя ариеметическими машинами дЪйствительно появились въ разныя времена. — По остроумности механизмовь или простот® устройства, онЪ, въ большей или меньшей степени, достигали предполагаемой пъли. Извфстно, что уже Мюллеръ дЪлалъ попытки прилать болфе общности употреблению изобрътенной имъ въ 178% году ариеметической машины; посль него, ° хотя эта машина и была, усовершенствована, но ° однаколуь,. при всей точности, и выгодахь, даже въ усовершенствованномь видЪ она не введена въ общее употреблеше. (*) Говорятъ, что Лейбницъ, кромв издержекъ, превышавших, сумму 2.000 талеровъ, жертвоваль своими досугами, въ продолжеи иногихь ат, на обдуныйаше изобртениой имъ машины: 2 Священникъ Гавъ трудиалел’надъ своею машиною семь лтъ, Шигернъ _ въ Варшавф падъ подобиою же машшиою — восемь льть, при чемь — онъ издержаль болфе 10,000 талеровъ; еше недавно появилась огромная машина Баббеджа (ВаБЪарс) аъ Лондон, требовавшая ° шестилфтвихь трудовъ и стоющая болфе 17,000 фунтовъ стерл. | Причина такой неудачи, самимъ мною. испытанной при изобртеши за нЪфсколько льтт. предъ сомъ ариеметической машины, заключается не столько-въ несовершенств% подобныхъ орул, сколько въ трудноств Убфдить занимающагося численными выкладками въ пользЪ нововведешя и обратить его вниманю, посвященное имъ обыкновенным ариеметическимт, дЪйстыямъ, на премы несравненно простьёние, требуемые употреблешемь машины; ибо онъ не ръшается, безъ собственнаго удостовфрешя, положиться на точность своихъ исчислешй, зависящую отъ сокрытаго механизма колесъ, подверженныхъ поврежденио; да п КЪ тому, такаго рода повреждешя не могутъь быть тотчасъ замъчены, какъ напримъръ въ часахъ, гд® мальйшая порча прямо обнаруживается, напротивъ того, чрезъь одно уже вращеше ручки можеть представиться выводъ пли вфрный, пли ошибочный, не смотря на то, что самая машшиа оставалась безъ движеня. Кром значительной дороговизны, не принимая лаже въ уважеше тщательности; съ какою должно * Употреблять такого рода машины, для сохранности, какъ ел самой, такъ и для вЪриости производимаго исчисленя, он представляють еще тотъ особенный недостатокъ, что по достижеши вывода нельзя уже обозрёть всего дфйстыя п, сафдовательно, увфриться вт, правильности результата. Между тЪмъ, при обыкновенномъ способъ вычислешя на бумагЪ, легко будетъ всегда найти причину какой либо вкравшейся ошибки, которую тутъ же можно и исправить. Дъйствуя же посредствомь машины и сдълавь по пеосторожности Ем й ’ даже малвйшую ошибку, иеобхолимо придется съизнова нередълывать вов вычислешя. Изъ всего сказаннаго усматриваемъ, почему ввести ариеметическую машину ’ вь общее употреблеше сопряжено съ такими за’ труднешями, | Дая устранешя исчисленныхь выше иеудобствъ, | прибЪгали къ составленио таблицъ, заключающихъь из’ въетныя, опредфленныя наперед числа, по которымт, ’ такъ сказать, можно найти требуемый результат посредствомь произведенных предъ нашими’ глазами дъйствьй. Нъть сомнфшя, что подобныя вспомогательныя средства по простотф свей несравненно падЪжнъе механически устроенныхъ ариеметическихь машинъ; однако, не смотря на всф опыты въ этомъ родъ, никто не успьль еще доставить ими существенную ’ пользу занимающимся численными выкладками. | Единственное и главиъйшее облегчеше для умно» ’ жеша и л5лешя, бывшее издавна предметом мвогихъ ” попытокъ, состоитъ въ томъ, чтобы какимъь нибудь } правильнымь и падежнымь дъйстыемъ получить ра” зомъ произведешя чиселъ, состоящихь изъ многихъ | циФръ на множители 23; Мох 3:9 5ето, достиженш ’ этой цфли умпожеше обратится въ простое сложеше, | а двлеше въ вычиташе. Й Всь старая представить безъ всякаго посторонняго пособфя эти 8 простыхъ произведешй оставались до сихъ поръ безуспьшными. Извъетныя Неперовы ’ палочки, равно и составленныя изъ нихъ машишы Каспера Шотта, Леопольда Вольха и другихъ, не давали въ точности упомиваемыхь 8 произведешй для всякаго | числа; при каждомъ отдфльномъ произведеши падле| | жало придавать въ памяти десятки умноженной циеры къ сабдующимъ единицамь Сверхъ того, десятки и единицы занимали мфста въ порядь® весьма сбивчивомъ, а подобное обстоятельство требуетъ, напряженнаго внимашя при сложени и тмь самымъ дЪлаеть употреблеше. машииы, чрезвычайно неудобнымь и даже ненадежнымь при умножени. Къ тому жъ въ такомъ видь машина не примфнима къ дЪленно, ибо нельзя съ легкостио узнать тотъ рядъ чиселъ, который посль сложешя его десятковь къ слфдующей единице есть ближайшее къ дЪлимому. Лаже извьстныя таблицы умножешя, назначаемыя для непосредственнаго опредълешя извфстнаго предфла 8 простыхъ произведешй не могли удовлетворить предполагаемой цфли. Новъйния и наилучийя таблицы умножешия, составленныя Креллемъ (въ 1830 г.), простираются оть 1 до 10,000,000, на 127-ми лисахъ. Но п онф сверхъ своей неточности, (такъ какъ за вфрность цфлыхъ томовь таблиць съ числами и не возможно ручаться) , не означают непосредственно требусмыхъ 8 произведешй каждаго многоциереннаго числа; почему необходимо, собравъ изъ разныхъ мъсть цифры каждаго требуемаго, произведешя, списыватъ, ихъ по опредфлениому порядку, на что потребны крайняя осторожность и большое терифше. Сверхъ того этотъ способъ никакъ нельзя примфнить къ дЪленио, потому, чтс не возможно однимъ взгядомъ обнять вов 8 произведешй дфлителя. Впрочемъ, чтобы привести таковыя таблицы въ совершенную точност до 7 цихреннаго числа, именно, чтобы он% показывал прямо всв 8 произведенй каждаго числа, —то дл | этого потребовалось бы 1147 томовь т #-го, каждый | по 127 листовъ, какъ Г. Кредль самъь замытиль въ | своихъ таблицахъ. | Описанная мною здЪеь ариометическая машина | вполнЪ достигаеть изложенной выше цъли. Посредст| вомъ весьма простаго дЪйстёя можно получать скоро ’ и разомъ всв 8 произведений какого ни есть числа | 03ъ 7 цыхръ; не менве легко производить на ней || тавже дълено и извлечене квадратныхь корней, какъ то будетъ показано въ прилагаемомъ ниже описан. | Преимущества моей машины предъ другими из| въотными до нынф сего рода пособями суть слбдующя: | 1. Машина надежна потому, что ея выводы про' изводятся не механическимъ образомъ, т. е. не по| средствомъ движешя, а основаны на особенной теорем ’изъ теорш чиселъ. Незначительный механизмъ этого | снаряда не имфеть пичего общаго съ вычислешемъ, | шо служить единственно для того, чтобы ускорить } премы, необходимые для примфнешя теоремы. По окончаши дЪйствЁя вЪрность результата обнаружи| вается съ перваго взгляда, независимо отъ исправио| сти механизма. | 2. Посль каждаго пргема, какъ данное число, такъ ` в сафдстыя произведеннаго дъйствя останутся па ` виду. Если бы даже вычисляюний поручиль посто' роннему производить выкладки на машинъ, то и въ ‘такомь` случа, по окоичаши дЪъйстыя онъ бы могъ: Однимъ взглядомъ удостовьриться въ точности или ошибочности найдепиаго результата. При томь и | Уи всякая всрЪтившаяся нечаянно ошибка, тотчасъ могла бы быть замфчена и легко исправлена. 3. Машина, по устройству своему, соединяетъ въ себъ возможныя условя для правильнаго дъйствовашя. Она состоить изъ ровныхъ, плотныхъ, большею частно деревянныхъ частей, коихъ составь и лвиженше. весьма просты. Снарядъ никогла почти не, можеть подвергнуться повреждению, и если бы даже п произошло какое либо растройство въ механизм, то оно бы само собой обнаружилось и легко могло бы быть исправлено. №. Машина можеть быть Употребляема для какихъ ни есть многоцихренныхъ чиселъ; для этого стоить только соединить двЪ или болфе такихъ машинъ и тогда получится столько мЪстъ для циеръ, сколько пожелаемъ. 5. По чрезвычайной нростотф своей, означенная машина можеть быть исполнена всякимь простымъ ремеслениикомъ; къ томужъ построеше ея обойдется весьма дешево. С. Петербургъ, Зелигз Слонимскёй. Анръля 10. Из Бтьлостока. ОПИСАНИЕ ПИСТРУМИНТА. о $1. Чертежь 1 изображаетъ весь приборъ. АН Г К. есть четыреугольный деревянный ящикъ въ 16 дюймовъ длины, 13 ширины и 2 дюйма вышины; на верхней доскЪ находятся 11 поперечныхъ рядовъ четыреугольныхь отверстй; въ каждомъ отверстш, изъ циеръ и буквъ, находящихся внутри машины, появляется всегда только по одной. Ряды, означенные циФрами отъ { до 9 показывають искомыя числа, такъ что цихры, видныя въ отверстяхь каждаго, поперечнаго ряда, собставляютъ вмЪфстЪ одно число, Два ряда, означенные буквами © и «мы назовемъ указательными рядами, потому что буквы, показывающёяся въ отверсцяхь этихь рядовъ, служать указашемь пруемовъ, требуемыхь свойствомъ производимой выкладки. $ 2. На передней сторон® ящика находятся восемь головокъ А, В, С, Т, Е, Е, С, Н, утвержденныхь на четыреугольныхь осяхъ, которыя, внутри машины, проходятъ до противуположнаго конца. На эти оси насажены цилиндры около 12 дюймовь длины, имфюные каждый внутри четыреугольную ‘продольную пустоту (для оси); подлБ передней стороны ящика, на каждой оси, утвержденъ узк отрЪзокъ вала или поясъ въ : дюйма ширины. Цифры и буквы, написанныя иа поверхности цианндровь и поясовъ, составляютЪ таблицу , приложенную. въ копцф этагоописашя. сли станемь вертфть головку, то всему цилиндру сообщаемь вращательное движеше; сверхъ того цилиндрическая псверхиость, безъ пояса, можету имъть еще поступательное движеше, взадъ и впередъ, посредствомь слфдующшаго мехапизма: съ правой стороны каждаго изъ отверст@, составляющихь рядъ @; ‹ находится головка при обращеши которой, вправо или влфво, зубчатое колесо, находящееся неносределвенио подъ верхоею доскою ящика, зацфиляеть за зубцы пилы ‚ имъющей направлеше паралельное оси цилиндра. Эта ппла поддерживается двумя скобками, прикръплепными къ внутренней сторонф верхней доски; конець же ея, обращенный къ передией сторон ящика, имъеть крючекъ, задЪваюний за круглый подрЪзъ. При такомь устройствь легко повять, что при нращени головки которую назовемъ указательною, поверхность цилиндра будетъ двигаться взадъ и впередъ вдоль оси. Итакъ, цилиндры имъютъ двоякое = движеше: вращательное, сообщаемое имъ посредствомъ головокъ, находящихся на передней сторон ящика, и поступательное влоль осей, посредствомъ указательныхъ головокъ. Въ Фигурз 2-й В означаетъ головку, находящуюся на’ конц четырегранной оси АЕ, АГ есть отрЪзокъ вала, укрЪпленный на оси внутри машины; С изображаетъ круглый подрЪзъ на цилиндрЪ, за который задЪваетъ пила С посредствомъ крючка Н. Наконецъ, Ю есть зубчатое колесо, задъвающее при вращенй указательной головки А’ за зубцы пилы С. ву 3: Съ обращешемъ головки В отъ правой руки къ лъвой; обращается и самый цилиндръ въ туже сторону. При этомъ движеши, въ отверстш В всегда показывается одна цихра съ означенною надъ ней буквою; на поясь, соотвътствующемь отверстйо В, цифры написаны въ слздующемъ порядкЪ: прода е авео Ц ртом, вся 0, 0, 0, 0; 1, 4, 4, 1,2, ©, 2, 9....9,9, 9,0. каа изъ десяти циоръ, отъ 0 до 9, повторяется четыре раза сряду, имфя` посльдоватеньно указателями своими’ буквы а, Б, с, 4 То же самое должно зам тить и въ слфдующихь пяти головкахь С, 0, Е, Е, 6, что же касается до‘крайнихь головокъ А ШИ, то А въ своемь отверстии показываеть одну’‘изъ десяти циеръ, отъ 0 до 9, безъ буквъ; въ отверсти же Н всегда цифра 0. означена одвою изъ четырехъ буквъ а, Б, с, 4. ` $4. Если одно изъ отверст!й ряда 1 показываетъ цифру означениую буквою а, то въ находящемся пад нимь указательномь отверстш циллиндръ показываеть а въ степени 1 (съ показателемь 1), т. е. а'. Если же станемъ вращать указательную головку, находящуюся не посредственио вправо оть указательнаго отверстйя, то цилиндръ въ отверстяхь будетъ показывать по порядку а”, а°, а*, а, а°, а”, далье головка не можеть обращаться вправо, но можно вращать ее пазадъ, и въ такомъ случав цилиндръ покажетъ т же степени буквы а, но въ обратномъ порядкЪ, именно: аб, аб, а, и такъ далфе. То же самое случится и при всъхъ другихь цихрахъ, означепныхъ буквами Ь, с, 4. Всякая въ ряду 1 находящаяся буква, можеть быть поставлена въ’ ряду @ въ одну изъ семи степеней. посредствомь указательной соотвфтствующей ей головБи. $ 5 Ясно, что ко всякой въ ряду 1 стоящей циеръ, можно, въ указательномъ отверстш, находящемся надъ нею, поставить каждую изъ четырехъ буквъ въ одной изъ семи степеней. Положимъ, что въ одномъ отверстт ряда {1 будеть 9 и требуется поставить с‘ въ соотвътствующемъ ей указательномъ отверстш ряда а; для этого слБдуетъ поставить въ томъ же отверстш перваго ряда цыхру 9, означенную буквою с (5), тогда и указательное отверсте покажеть с; останется только, вращешемъ указательной головки, вправо или влЪво, привести с“ въ указательное отверсте. $ 6. Чтобы поставить какое нибудь число на машин®, напримфръ 9785, обращаемъ головку А, до тЪхъ поръ пока въ соотвётствующемъ отверстш не покажется циора 5; такимь же образомъ поступаемъ съ головками В, С, 0, пока не получимъ въ соотвЪтетвующихь имъ отверстЁяхъ, въ первомъ ряду, циеръ 9, 7, 8. Въ прочихъ отверстяхь этого самаго ряда должны быть поставлены нули. Такъ какъ каждая цихра повторена четыре раза, и отмёчена одною изъ четырехъ буквъ а, Б, с, 4, (см. 6 №), а всякая буква можеть быть возвышена въ одну изъ семи степеней, то слъдуеть опредълить, съ какою буквою и въ какой степена буквы, должна быть взята цихра, при расположен даниаго числа. Это опредфлеше производится самою машиною. Въ первомь отверстш а усматриваемъ с*; этоть же знакъ ставятъ и въ © (10 @ 5), а поставленную циФру 8 въ первомъ ряду цилиндра В берутъ съ показателемъ с, то есть 8, потомъ вращаютъ указательную, головку а до тёхъ поръ, пока въ отверстш станетъ с“. Отверсте 2 тогда покажетъ а’; переставя | а’ въ р’, въ отверстш с получимь с“; переставя с°_ въ ©, въ отверсты 4 получимь 4, 4” будучи переставлено въ 4’ отверсте е даетъ а' и такъ лалъе. | Всяый знакъ, появляющийся въ ряду @, долженъ | быть повторяемь въ раду @, такъ чтобы знаки аа, бесит д Такимъ образомъ въ первомъ ряду остается даниое число 9785 безъ перемфны; въ рядахъ же мис’, каждые” два’ отверстЁя,; дЁагонально; отъ правой руки ‘къ лЪвой, будутъ имфть одинаковые знаки. Въ нашемь примёр® ряды @ и « покажутъ знаки въ слфдуюшемъ порядкЪ : рядъ @—а', а! 4”. ©°, а’, с рядъ = а',: 47, 6°, ла’, с". Въ рядахъ, означенныхь’ цифрами оть 1 до 9; будуть видны слфдующия числа: Радъ 9 — 88065. ‚ — 8— 78280. — 7— 68495. — 6— 58710. о 5 = 18925. — 39. — 3—=29355. — 2= 19570, — 1 —= 09785. Такъ что ряды 9, 8, 7...... показываютъ девятикратное, осьмикратное, семикратное и т. д. число даннаго. $7. Точно такимъ образомъ поступаютъ и при всякомъ другомъ числь, которое требуется поставить на машин$. Въ ряду 1, начиная отъ правой стороны, ставятъ данное число, а въ остальныя отверстёя, съ лЪвой руки, ставять 0; потомъ въ ряду ©, отъ правой руки къ лвой, въ каждыхъ дтагонально лежащихъ отверстяхъ ставятъ одинаковые знаки. При нфкоторомъ навык®, можно дфлать это съ разу: слъдуетъ только, при каждой поставляемой цихръ, лЪвою ‘рукою брать соотвфтствующую ей головку на передней сторонъ, а правою — указательную головку; потомъ’ пер= вую обращать вправо или влево, пока, самымъ коротвимь обращешемъь, въ отверстш ея. не. покажется требуемая циера, означенная тою буквою, которая стоить въ предъидущемь отверстш 0 а второю головкою ‘возводить букву въ надлежащую степень и т. д. Если мы такимъ образомъ поставили на машин® какое угодно число п, то числа, стояцйя въ рядахъ 2, 3, 4....9, изобразять про изведеня Эп, Зп; 9... т.е. двукратное, троекратное...... девятикратное число даннаго. $8 УМНОЖЕШЕ. Если нужно; напримъръ умножить 8956 на 8179, то большее число, ставятъ въ ряду 1, по вышеопредъленнному способу ($ 5), потомъ списываютъ числа, стояшия въ рядахъ 9, 7, 1, 8, такъ чтобы каждое кратное, высшаго разряда, стояло одною циФрою лЪвфе; сумма ихъ изобразить искомое произведеше. Рядъ 9 —...80510%. — 7Т—=.. 626192 ы 1—=..89156 — 8—7156%8 Произведеше — 731660624. Этотъ же способъ употребляется и при числахъ, состолщихъ и изъ большаго количества цихръ: большее число ставятъ въ ряду 1; и списываютъ потомъ числа поперечныхъ рядовь, которыхъ циФры 1-9 составляютъ множитель, по порядку отъ правой руки къ лфвой, одно подъ другимъ, такъ что бы всякй рядъ, соотвътсвующий высшему разряду множителя, стояль однимь мфстомъ лЪвфе. Сумма ихъ будеть равняться искомому произведению. , $ 9. ДЪЛЕНЕ. Требуется раздфлить 77226№ на 8015; ставятъ на машин дЪлитель 8015; берутъ изъ рядовъ { —9 то число, которое паиближе подходить къ высшимъ мЪетамъ дЪлимаго 772261, и вычитаютъ изъ него. Здфсь 72135, стоящее въ ряду 9, слфдуетъ вычесть изъ 77226, при чемъ остатокъ будетъ 5091. — Тогда Э ставятъ въ частномъ, а къ остатку 5091, сносятъ изъ дфлимаго цихру №, вычитаютъ изъ него то число, которое въ рядахъ { —9 напближе къ нему подходитъ, именно число #8090, находящееся въ ряду 6; ставятъ 6 въ частномъ вправо отъ 9, остатокъ 2824 не можетъ быть раздфленъ, потому что онъ менъе дълителя. Искомое частное будетъ 96. Точно такимъ образомъ поступаютъ и въ томъ случаЪ, когда дфлимое состоить изъ большаго’ числа циФръ. Дфлитель. | Дълимое. | Частное. 8015 772,26 | 96 Рядъ 9— 72135 ' ^ 5091. Рядъ 6 — 18090. Остатоъ = 282%. $ 10. Когда въ рядахъ отъ 1 по 9 не будетъ числа, которое бы было меньше дЪлимаго, то въ частномъ ставатъ 0, а къ дълимому сносятъ новую циеру, ‘и потомъ продолжаютъ дЪйстше. Если хотятъ раздЪлить, и послёдшй остатокъ дфлешя, чтобы найти дЪсятичную дробь частнаго, то нужно къ остатку прибавить сколько угодно нулей, и продолжать выкладку по прежнему же способу. 'Машина допускаетъ дълеше произвольно большяхъ чиселъ, если только дЪлитель состоитъ не болфе, какъ изъ 7-ми циеръ. $11. Если устроить машину съ большимъь числомъ цилипдровъ, то можно производить дълеше н умножеше съ большимъ числомъ циФръ. Таже цЪль достигается при помощи иЪсколькихь машинъ, поставленныхъ рядомъ; но тогда нельзя употреблять перваго цилиндра, кром® только на первой машинь съ права; не льзя также пользоваться послфднимъ циливдромъ , исключая только послфдней машины. Стояцшйя рядомъ машины составляютъ какъ бы одну, такъ что каждыя дв дтагонально лежашия ‘указательный отверстЁя въ рядахъ « и @ должиы показывать одну и туже букву и въ тойже степени. Если будетъ п подобныхь мао шинъ, то он вмЪстЪ составлять одну машину, на которой будетъ находиться (6 -- 1) мьстъ. $ 12. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ. . .. Наша машина доставаяетъ существенныя” облегчешШя при извлечени квадратвыхь корней. Даля этого нужно во вобхъ отверсмяхь ряда 1 поставить 0; потомь, посредствомъ головки №, которая движется вдоль отверст1я 4, передвигать вверхъ какъ пластинку находящуюся подъ верхнею доскою инструмента, такъ и первый цилиндръ; чрезь это въ первыхь двухъ вертикальныхь рядахь становятся квадраты 9 цихръ `въ сл5дующемъ порядк®, сверху внизъ; 81, 6%, 49, 36, 25, 16, 9, №, 1.— Чтобы извлечь изъ какого либо числа квадратный корень, дфйствують слфдующимь образомъ: Положимъ, что ищется квадратный корень числа: 126751897 Данное число по’ обыкновенно дфлятъ отъ правой руки ма грани по двЪ циры. Поставивъ, нули во вофхъ отверстяхъ рлда 4, берутъ изъ поперечныхъ рядовъ тб число, которое наиближескъ первой грани 12; здЪесь число 9 изъ. ряда 3; ставятъ 3 `какъ первую ‘цихру корня, вычитають 9 изъ 12 и прибавляють къ столбцу 3 слфдующую грань 67, почему и произойдеть число 367, ставять потомъ двойное произведеше набденнаго кория 2’ 3=:6 по правилу въ рядъ 1, выбирають изъ рядовъ { по 9 ближайшее меньшее число; здЪсь 325 изъ ряда 5, и ставятъ_5 справа къ первой циФхрь корня 3; такимъ образомъ произойдетъ корень 35; вычитаютъ 325 изъ 367 и къ остатку №2 сносять слЪдующую грань 51, что составить число 1251. — Чтобы найти слБдующую циФру корня, берутъ двойное произведенте найденнаго, корня, т. е. 2.35 —70, ставять число 70 въ ряду 1 п продолжаютъ, дъйстые какъ объяснено выше, наприм$ръ: 12, 67, 51, 89, 7в | 35602. Рядъ 3—= 9 367 Рядъ 5 — 325 ь 4251 Рядъ 6 = 1236 1589 Рядъ 0 —= 0 15897 Рядъ 2 —= изм 16570. $ 13. Когда, поставивъ двойное произведеше корня, нельзя въ 9 ти рядахъ найти числа, которое было бы менфе числа, произшедшаго отъ прибавлешя, двухъ снесенныхь цихръ къ остатку, то къ этому числу сносятъ новую грань, а къ корню прибавляють 0. } 1 Чрезъ прибавлеше двойныхъ пулей къ остатку, дъйствуя впрочемъ по общему правилу ($ 12), можно довести десятичную дробь до большой точности. На машин съ семью цифрами можно только получить корень въ восемь ицеръ. Это не удобство можно устранить, ставя двЪ машины рядомъ ($ 11). о. Случается, что при извлечеши квадратнаго корня, на цилиндръ А въ ряду 9 выходить цыюра 1 со знакомъ плюсь въ такомъ видЪ: -Ё, или въ ряду № на томь же целиндрё А, циера съ другимъ знакомъ минус5: 1 —. Первое значить, что при списыванш ряда 9 должно прибавить къ циер®, на цылинар® В стоящей, единицу; второе — что при списыванш ряда № циера на цилиндрь В должна быть уменьшена единицею. — Это дЪйстые, по ясности указашя, не ‘можеть ускользнуть отъь впимашя производящаго выкладку; упоминаемые случаи встръчаются тогда только, когда въ кориЪ будуть числа 39 или 1%. фвогР:Яя на которой основано построеше инструмента. ПРЕДЛОЖЕНИЮ. $ 16. у Произвольное миогозначное число п, будучи по порядку помножено на числа а, 0, с, 4.... даетъ вь произведеши многозначныя же числа ап, бп, сп, @п,.... Разположимь п и всъ произведешя ап, бп, сп..... одни подъ другими такъ, чтобъ единицы стояли подъ единицами, деслтки подъ десятками п проч. Порядокъ циерь составляющихь вертикальные столбцы, переходя отъ правой стороны къ лфвой, будетъ вообще различный; но для всъхъ чисель п и дая опредфленнаго числа данныхъ множителей а, 6, с, 4.... будет существовать опредфленное число такихъ порядковъ и это опредъленное число означимъ чрезь р. Далъе означимь чрезъ число всфхъ различныхь правильныхь дробей имъющихь знаменателями множители а, 6, с, 4, .....то всегда будемъ имфть р=10 (9-1) | АЦ ео ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Въ ряду вышеозначенныхь произведешй, порядокъ пиФръ (| 1) столбца, будетъ зависить, во первыхъ отъ (г-- 1) цихры числа п, во вторыхъ, отъ числа | десятковь получениыхь оть умножешя ттой цихры числа п на каждый изъ множителей а, 6, с, 4,.. .; эти десятки должны быть причислены къ (Е 1) циер® Разсмотримъь сперва, сколько различныхъ порядковъ для циоръ (г +- 1) вертикалчнаго столбца, вообще получатся ‚ когда число состоящее изъ г циФръ, будетъ помножено по порядку на множители Пра. Означимь число состоящее изъ г циеръ чрезъ т, чтобъ вь произведен ат на (г-- 1) месть стояла 1 необходимо, чтобы ат было бы не менъе и. 1 . 10/, что все равно, т. > = = * 10” ь Чтобы на (к-р |) мстЪ стояла циора_2, произведеше апр должно быть не менфе 2. 10’; тогда будетъ 2 и т>=-: 10”. : На ("-- 0) мветв получится циора 3, когда $ 8, ИЕ Пр -Я 0 И наконець на (г--1) мвств получится цифра а— 1, когла будетъ —а-—4 т т>=—_. 10". То же самое можно сказать и о ‘произведении бт, ("+ ©) цыера этого числа можеть быть 1.2.3.61, смотря потому, будетъ-ли а «О 0 10 И для прочихъ произведенй ст, т, и проч. будетъ тоже. “аа Изъ сего слфдуеть; что для вобхь чисель; состоящихь изь г цифръ, и когорыя мы означили чрезь па, въ ряду произведеши ат, бт, ст, ат, и проч. для циерь (г-- 1) вертикальнаго столбца получатся столько различных видовъ, сколько можно составить различныхь правильных дробей, имъющихъ знаменателями числа ‘а. 6. с. 4. . то есть 4; здЪъсь сказано всъхь разлинныяь правильныхь дробей, потому, что равныя ‘дроби, производятъ одинъ и тотъ же порядокъ циФръ въ (г 1) вертикальномъ столбиЪ. К этимъ 4 различнымь порядкамьъ циФръ (г-|- 1) вертикальнаго столбца надлежить присовокупить еще один, именно тотъ, когда вс циФры (г-- 1) столбца, пули, то есть когда число ‘т, будучи ниже извъстнаго предфла, ни одно изъ произведенй ат, фт, ст’... не произведеть цифры на (г-- 1) мъеть. ("-- @) цифра’ числа п. можеть быть каяздая: изъ десяти циеръ 0, {,2,3....9; п елБдоват: оть умножешя п на а, 6, с, п проч. могутъ произойти 10 различныхь порядковъ для (г-|- 1) вертикальнасо столбца; каждый изъ этихъ 10-ти порядковъ можеть соединиться чрезъ сложеше съ каждымьъ изъ 4 1 вышенайден ныхъ видовъ, и произведеть, при каждомъ соединенши различные порядки циеръ, въ чемь удостовфряемся безъ мальйшаго затруднешя. Отсюда прямо слфдуетъ, что число веБхъ различныхь порядковъ или видовъ, которые могутъ произойти, будеть р — 10 (а!) Примьчаше: найдениое выражеше для р вполне доказано только въ томъ случаъ, когда а, 6, с.... суть однозначныя числа, но когда каждое изъ нихъ, или только нфкоторыя, будуть заключать боле одной цифры, то ничто не показываеть, чтобы всЪ 10 (9-1) видовъ были различны межлу собой. Дъйствительно, могло бы случиться, что вертикальные ряды единиць, десятковъ, сотень.... каждаго изъ столбцевъ, при соеднненш посредствомь сложешя съ 10 вторыми вертикальпыми столбцами, доставили бы ифсколько одинаковыхъ порядковъ. Въ этомъ случаЪ число различныхъ видовъ для р будетъ менфе чёмъ 10 (+1) (* Въ такомъ предположеши можио сказать, что число различныхъ порядковъ ни когда не можеть быть болъе 10 а-= 1), и что слфдоватольно, найденное (*) Въ бытность мою въ 4844 году въ Берлиф, я показываль мою машину извфстнёйшимь тамошним» ученымь и сообщилъ Гг. Якоби и Крелле открытую мною основную ариометическую теорему для. однониаренныхь множителей; Г. Крелде пь своемъ математическомь журнал обфщаеть предложить общее доказательство на это предложеше, когда машипа мол получитъ надлажащую гласность. Сколько мнф кажется, обЪщаемое доказательство не можеть быть въ строгомъ слыслв общимь, ибо я, съ своей сторопы нашель вЪкоторыя ограничешя всеобщности упомцнаемой теоремы. выражеше для р изобразить наибольшее число различныхъ видовъ при какихъ ни есть множителяхъ. $ 17. Въ нашемъ ‘инструмент, для чисель а, 6, с, и проч. приняты всф числа отъ 0 до 9 включительно; всф различныя правильныя дроби, имъюпия знаменателями эти числа суть: 1, БУ ЬЬЬЬЬ ББ и так мы имфемь 9 — 27 ир=- 10 (9-1) = 280. $ 18. Чтобы получить оти_280 различпыхъ порядковъ, надлежитъ сперва выписать вс 9 различныхъ вертикальныхъ столбцевъ, чтоб производится слфдующимъ образомъ: расположимъ вв различныя значешця числа т, такъ чтобъ они отъ лфвой руки къ правой постепенно возрастали полагая по порядку т== 10", { 10", }107..... помноживь потомъ каждое по порядку ва числа 2, 3, №....9, получимъ искомое число 9 вертикальныхь столбиевъ, какъ показываетъ нижеслфдущая таблица. Если далфе, каждую изъ десяти циеру, 0,1,2...,9 помножимъ на 2, 3, №....9, то получимъ въ десяти вертикальныхь столбцахъ десять различныхь порядков чисель, которыя, кромё нуля и единицу, будутъ также заключать и десятки; эти виды мы назовем, главными, для разлиия ихъ оть предидущихь 9 порядковъ, которые можно назвать порядками десяткове. РО уе 89 обе 012 ще вв 3036915 15 1959 9 27 0 1216 50 9% 958 32 36 5 05 10 1520 %5 5 35 0 5 ‚ 6061 взр 101121 28 3542 № 56 63 808 162 э 0 48 56 6% 12 9..0. 9. 18 27 36 5 5 63 72 81. Соединяя посредствомъ сложешя‘ каждой изъ 10 главныхь порядковъ, съ каждымъ изъ 98 порядков десятков (включая сюда и видъ, заключающ!й одни пули), получимъ всего 280 различныхъ видовъ. Рядъ десятковъ, принадлежащий къ каждому изъ этихъ видовъ, можеть быть опущенъ, потому, что опъ непремфино составлясть одинь изъ найдениыхъ поРрядковъ десятковъ. Эти 280 найденпыхь порядковъ мы будемъ называть порядками единице. Каждый изъ нихъ падложить отмётить двумя знаками: одинъ изъ нихя. долженъ показывать, который изъ 28 порядков десятковъь принадлежить къ иему, а другой, отъ сложешя котораго главиаго порядка съ какимъ порядкомъ десятковь онъ произошелъь. Первый изъ этихъ двухъ знаковь мы будемъ называть знакомъ десяткове, а второй знакомь сложешя. $ 20. з Ежели составить теперь таблицу всъхъ 280 порядковъ, присовокупляя къ каждому его два знака, то употреблеше ея сдЪлается очевиднымъ. Положимъ, напримьръ, что требуется вайти произведешя числа. 789 2,3, №.....9; сперва надлежитъ выписать единицы главнаго порядка числа 9, п поставить ихь въ вертикальномъ столбиь одно подъ другимъ; такъ какъ знакъ десятковь этого порядка есть 27, то надлежить взять порядокъ числа 8 со знакомь сложешя 27, и приписать его съ лЪвой стороны къ написаниому уже вертикальному столбцу. Знакъ десят-. ковь этого порядка опять 27; слфдуетъ взять порядокъ числа 7 со знакомь сложешя 27, и подобнымъ образомъ приписать его къ первымь двумъ стоабцамъ. Знакъ десятковъ этого порядка, 26, сафдуетъ взять порядокъ нуля со знакомь сложешя 26, и приписать его къ’ предидущимь вертикальнымь столбцамъ; знакъ десятковъ этого порядка будетъ 1, падлежить взять порадокъ пуля‘со знакомь сложешя 1, и далъе поступать точио такъ же. ВсЪ горизонтальныя строки циеръ этихь вертикальныхь столбцевъ, покажутъ вс произведешя числа 789 на числа 2, 3,...... 10 порядку. Нашъ инструменть имфеть ту выгоду, что онъ, освобождая насъ отъ сбивчиваго и утомительнаго выписывашя, подаетъ намъ средство, для всякаго многозначнаго числа, составить искомые вертикальные столбцы, безь мальйшаго затруднешя. 'Къ томужъь, одного взгляда достаточно, чтобъ удостовъриться въ върности ихъ составлешя. $22. Въ конц нашего изложешя, прилагается таблица, заключающая всЪ 280 порядковь вертикальных столбцевъ, каждая изъ цихръ 0.1. 2.... Э написана внизу четыре раза сряду; вертикальные › столбцы циФръ надъ каждою изъ нихъ, во всю длипу таблицы, ©0- держать всё ея_28 порядковъ, слЪдующиуа образомъ: каждый вертикальный столбець состоитъ изъ осьми циФръ; для этаго первыя цихры всъхъ 28 порядковь сперва располагаются въ семи горизонтальных рядахъ, стоящихъ одинъ подъ другимъ, и заключающихь цо четыре цихры считая отъ лЪвой руки къ правой. Такъ, напримвръ, первые семь горизонтальныхь рядовъ, каждый © четырехь цифФрахъ, которые находят ся въ таблимв па верху съ лЪвой стороны, именно 0111, 1122, 2333, до 17178 представляютъ первыя циеры воёхъ 28 порядковъ нуля, слфдующия за ними семь рядовъ представляютъ вторыя цихры тъхъ же порядковь, слфдуюця за тъми семь рядовъ_ трея циФры ит. д. такамъ же образомъ расположены и порядки всъхь прочихь циеръ оть 1 до 9. $ 23. Что. касается до двухь знаковъ каждаго порядка $ 19, то можно бы было означить ихъ числами отъ 1 до 28; но расположив ихъ въ семи рядахъ, по & Числа въ каждомъ, было бы весьма не удобно, зрезь отверст1я инструмента, пршскивать именно тб, которое нужно; по этому мы нашли болфе выгоднымъ значить ихъ другимъ образомъ, и выбрали на этотъ конець четыре буквы а, Ъ, с, 4, съ показателями 1. 2. 3....7. Располагая въ каждомъ ряду по четыре буквы съ отвътствующими показателями, получаемъ 7 такихъ рядовъ. Такимъ образомъ нахождеше каждаго знака на инструмент® какъ въ $ 5 показано, становится весьма удобнымъ. Эти знаки расположены внизу таблицы соотвтственно циорамъ порядковъ, такъ что семь верхнихъь поперечныхъь рядовъ составляютъ знаки десятковъ, а семь нижнихъ, знаки сложеня. $ 2%, Въ каждомъ изъ отверстйй, расположенныхь въ вертикальныхь рядахъ, инструмента, показывается всегда только одна циФра, изъ числа принадлежащих одному и томуже вертикальному столбцу таблицы; два послфдовательныя отверстая будутъ показывать циФры, удаленныя между собой на таблиць на 7 мъстъ; изъ этого слфдуетъ, что при каждомъ положенй: цилиндра, мы получаемь одинъ изъ 280 порялковъ съ ‘двумя его знаками. Рядъ отверстй ©’, ©, показывасть звакн десятковъ, а рядъ аа, знаки сложешя. Здъсь можно. замфтить слфдующее: и ежели въонашей таблицву гдЪ цифры всъхъ порядковъ’располох жены, по № въ’ 7-ми рядахъ, считая оть.‹яфвой ‘руки къ правой, расположимъ. на оборотв, по семи циеръ въ № ряда, считая сверху внизъ, то для циоръ относящихся къ произведенямъ, происходящимъь отъ умноженя на № и на 2 получимь для каждыхъ, по семи поперечныхъ рядовъ, состоящихъ изъ совершенно одинаковыхь циеръ. Отъ того эти 1& поперечныхъ рядовъ, можно опустить въ таблиць, а за то на ниж- | ней части цилиндра написать оданъ подъ другимъ, два ряда изъ которыхъ одинъ заключаль бы цихры относяшфяся къ произведешямъ, произходящимь отъ умножешя на 2, а другой, къ произведешямъ произходящимъ отъ умножешя на №. Тогда на инструментв, | въ ряду означенкомъ 1, будемъь имфть, какъ данное ^ число, такъ в произведешя его на два и на четыре. Инструменть, отъ такого расположешя сдфлается короче на ; прежней длипы. Яже предпочель здсь удержать ту Форму инструмента, которая удобнзе на | практик%. ] | $ 25. | Легко понять, извлечеше квадратныхъ корней на инструмент®. Единицы квадратовь первыхь 9 ти | чисель 1, 1, 9, 16,25... 81 написана на пластинкЪ, | находящейся на правой сторонЪ инструмента, десятки же ихъ уже причислены къ числамъ, находящимся | ва цпаииарь А; оть этаго сложешя произшедине деслтки для цилиндра в, принадлежать уже къ | } одному изъ извъстныхь 28 порядковъ, исключая двухъ особенныхъ случаевь ($15), въ которыхъ они требуютъ особениаго ‘исправлешя помощио знаков и —1.